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• Passi
• Suggerimenti

La velocità è definita come l'accelerazione di un oggetto in una data direzione. In molte situazioni comuni, usiamo l'equazione v = s / t, dove v è uguale alla velocità, s è uguale allo spostamento totale dell'oggetto dal suo punto di origine et è uguale al tempo trascorso. Tuttavia, tecnicamente, il risultato dell'equazione rappresenta solo la velocità "media" durante il viaggio. Con l'aiuto del calcolo, è possibile trovare la velocità dell'oggetto in qualsiasi momento durante il viaggio. Questa è chiamata "velocità istantanea", definita dall'equazione v = (ds) / (dt), o, in altre parole, l'equazione della derivata della velocità media di un oggetto.

Passi

Parte 1 di 3: calcolo della velocità istantanea

1. 

   
   
   Inizia con un'equazione per la velocità in termini di spostamento. Per ottenere la velocità istantanea di un oggetto, è prima necessaria un'equazione che mostri la posizione dell'oggetto (in termini di spostamento) in un dato momento. Ciò significa che l'equazione deve avere la variabile S da solo su un lato e t dall'altro lato, ma non necessariamente da solo, in questo modo:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • In questa equazione, le variabili sono:

     Spostamento = s . La distanza percorsa dall'oggetto dalla sua posizione iniziale. Ad esempio, se un oggetto si sposta di 10 metri in avanti e di 7 metri indietro, lo spostamento totale è di 10 - 7 = 3 metri (non 10 + 7 = 17 metri).

     Tempo = t . Auto esplicativo. Di solito misurato in secondi.

2. 

   
   
   Calcola la derivata dell'equazione. La derivata di un'equazione è solo un'altra equazione che mostra la sua curva in qualsiasi momento. Per trovare la derivata della formula di spostamento, differenziare la funzione con questa regola generale per trovare le derivate: Se y = a * x, derivativa = a * n * x. Questa regola viene applicata a ogni termine sul lato dell'equazione che contiene il t.
   • In altre parole, inizia dal lato dell'equazione con il t, da sinistra a destra. Ogni volta che ne trovo uno t, sottrai 1 dall'esponente e moltiplica l'intero termine per l'esponente originale. Tutti i termini costanti (termini che non contengono t) scompariranno, poiché vengono moltiplicati per 0. Questo processo non è così difficile come sembra - vedi l'equazione sopra derivata come esempio:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Sostituire S per ds / dt. Per mostrare che la nuova equazione è una derivata della precedente, sostituisci S con la notazione ds / dt. Tecnicamente, la notazione significa "la derivata di s rispetto alla t". Un modo più semplice per capire questo è pensare che ds / dt è solo la curva per un dato punto nella prima equazione. Ad esempio, per trovare la curva retta composta da s = -1.5t + 10t + 4 at = 5, basta assegnare 5 t nella sua derivata.
   • In questo esempio, l'equazione finita dovrebbe essere simile a questa:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Assegna un valore a t nella nuova equazione per trovare la velocità istantanea. Dopo aver ottenuto l'equazione derivata, è facile trovare la velocità istantanea in qualsiasi momento. Tutto quello che devi fare è scegliere un valore per te assegnarlo all'equazione derivata. Ad esempio, se vuoi trovare la velocità istantanea con t = 5, sostituisci semplicemente t con 5 nella derivata ds / dt = -3t + 10. Quindi risolvi l'equazione:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metri / secondo

   • Si noti che è stata utilizzata l'unità di misura metri / secondo sopra. Poiché abbiamo a che fare con lo spostamento in termini di metri, il tempo in termini di secondi e la velocità in generale è solo spostamento nel tempo, la misura è appropriata.

Parte 2 di 3: stima della velocità istantanea su un grafico

1. 

   Rappresenta graficamente lo spostamento dell'oggetto nel tempo. Nella sezione precedente, è stato detto che le derivate non sono altro che formule che aiutano a trovare la curva in qualsiasi momento nell'equazione a cui si riferisce. Infatti, quando si rappresenta lo spostamento di un oggetto con una linea su un grafico la curva della linea in un dato punto è uguale alla velocità istantanea dell'oggetto in quel punto.
   • Per rappresentare graficamente, usa l'asse x per rappresentare il tempo e l'asse y per rappresentare lo spostamento. Quindi, distribuire i punti assegnando i valori per t nell'equazione dello spostamento, trovando i valori di s e contrassegnando t, s (x, y) sul grafico.
   • Nota che il grafico può estendersi al di sotto dell'asse x. Se la linea che rappresenta il movimento dell'oggetto si estende sotto l'asse x, rappresenta l'oggetto che si muove all'indietro da dove è iniziato. Di solito, il grafico non si estende dietro l'asse y - non è normale misurare la velocità di oggetti che si muovono all'indietro nel tempo!

2. 

   Scegli un punto P e un punto Q vicino ad esso sulla linea. Per trovare la curva in un punto P, viene utilizzato un trucco chiamato "calcolo del limite". Il calcolo del limite implica la scelta di due punti (P ​​e Q) sulla linea curva e la ricerca della curva della linea che collega i due punti ancora e ancora, mentre la distanza tra P q Q diminuisce.
   • Diciamo che la retta di spostamento contiene i punti (1,3) e (4,7). In questo caso, se vuoi trovare la curva in (1,3), definisci (1.3) = P e (4.7) = Q.

3. 

   Trova la curva tra P e Q. La curva tra P e Q è la differenza tra i valori y per P e Q sulla differenza tra i valori x per P e Q. In altre parole, H = (y_Q - y_PER) / (X_Q - X_PER), dove H è la curva tra due punti. Nell'esempio precedente, la curva tra P e Q è:
   

   H = (y_Q - y_PER) / (X_Q - X_PER)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Ripeti più volte, spostando la Q più vicino alla P. L'obiettivo è ridurre sempre di più la distanza tra Q e P, fino ad avvicinarsi ad un unico punto. Minore è la distanza tra Q e P, più vicina sarà la curva dei tuoi piccoli segmenti alla curva del punto P.Faremo questo alcune volte per l'equazione di esempio, usando i punti (2; 4,8), (1,5; 3.95) e (1.25; 3.49) per Q e il punto originale (1.3) per P:
   

   Q = (2, 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Stimare la curva per uno spazio infinitamente piccolo sulla linea. Man mano che Q si avvicina a P, H si avvicinerà alla curva nel punto P. Alla fine, in un intervallo infinitamente piccolo, H sarà uguale alla curva in P. Poiché non è possibile misurare o calcolare questo intervallo, è solo stimato la curva P quando risulta chiara dai punti testati.
   • Nell'esempio, spostando Q più vicino a P, sono stati ottenuti i valori 1,8, 1,9 e 1,96 per H. Poiché questi numeri sembrano essere vicini a 2, si può dire che 2 è una buona stima per la curva P.
   • Ricorda che la curva in un dato punto di una linea è la stessa di quella derivata dall'equazione della linea in quel punto. Poiché la linea mostra lo spostamento dell'oggetto nel tempo e, come si vede nella sezione sopra, la velocità istantanea di un oggetto è la derivata del suo spostamento in un dato punto, si può anche dire che 2 metri / secondo è una buona stima per la velocità istantanea at = 1.

Parte 3 di 3: esempi di problemi

1. 

   Trova la velocità istantanea at = 4, data l'equazione dello spostamento s = 5t - 3t + 2t + 9. Questo è lo stesso dell'esempio nella prima sezione, tranne per il fatto che è un'equazione cubica piuttosto che quadratica, quindi viene risolta allo stesso modo.
   • Innanzitutto, troviamo la derivata dell'equazione:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Quindi, viene assegnato il valore per t (4):
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 218 metri / secondo

2. 

   Utilizzare una stima grafica per trovare la velocità istantanea a (1,3) per l'equazione di spostamento s = 4t - t. Per questo problema, (1,3) è usato come punto P, ma è necessario trovare altri punti vicini da usare come punti Q. Quindi, è solo questione di trovare i valori H e fare una stima .
   • Innanzitutto, i punti Q si trovano in t = 2, 1.5, 1.1 e 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, quindi Q = (2,14)
     
     t = 1.5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, quindi Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, quindi Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1.01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, quindi Q = (1,01; 3,0704)

   • Poi ci sono i valori H:
     

     Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Poiché i valori di H sembrano avvicinarsi a 7, si può dire che 7 metri / secondo è una buona stima per la velocità istantanea a (1.3).

Suggerimenti

• Per trovare l'accelerazione (variazione della velocità nel tempo), utilizzare il metodo nella prima parte per ottenere un'equazione derivata per la funzione di spostamento. Quindi, ottieni un'altra derivata, questa volta dall'equazione derivata. In questo modo avrai un'equazione per trovare l'accelerazione in un dato tempo: tutto ciò che devi fare è assegnare un valore al tempo.
• L'equazione che mette in relazione Y (spostamento) con X (tempo) può essere abbastanza semplice, ad esempio Y = 6x + 3. In questo caso, la curva è costante e non è necessario trovare una derivata per ottenere la curva, che è, seguendo il modello base Y = mx + b per i grafici a linee, 6.
• Lo spostamento è simile alla distanza ma ha una direzione definita, che rende lo spostamento del vettore e l'accelerazione scalare. L'offset può essere negativo e la distanza solo positiva.