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• Passi
• Suggerimenti
• Avvertenze

Prima che arrivasse la calcolatrice, sia gli studenti che gli insegnanti dovevano calcolare manualmente le radici quadrate. Diversi metodi si sono evoluti per affrontare meglio questo processo spaventoso, alcuni apportando approssimazioni e altri un valore più accurato. Per imparare a calcolare una radice quadrata a mano usando semplici operazioni, leggi il Passo 1 iniziare.

Passi

Metodo 1 di 2: utilizzo della scomposizione in fattori primi

1. 

   Dividi il numero per fattori quadrati perfetti. Questo metodo utilizza i fattori di un numero per calcolare una radice quadrata (a seconda del valore, potrebbe essere una risposta precisa o stimata). voi fattori di un numero sono qualsiasi insieme di altri che si moltiplicano per ottenerlo. Potresti dire, ad esempio, quali sono i fattori e perché. I quadrati perfetti, d'altra parte, sono numeri interi risultanti dalla moltiplicazione tra altri numeri interi. I valori e, ad esempio, sono quadrati perfetti perché possono essere rappresentati rispettivamente da e. I fattori quadrati perfetti, come puoi immaginare, sono anche quadrati perfetti. Per iniziare a trovare la radice quadrata attraverso la scomposizione in fattori primi, riduci i valori ai tuoi fattori quadrati perfetti.
   • In un esempio, dovrai calcolare la radice quadrata della mano. Per iniziare, dividi semplicemente il valore nei tuoi fattori quadrati perfetti. Poiché è un multiplo di, è ancora noto che è divisibile per - un quadrato perfetto. Una rapida divisione mentale ti farà vedere che si adatta ai tempi nel numero, che guarda caso è anche un quadrato perfetto. Pertanto, i fattori quadrati perfetti di saranno e perché.
   • La prima fase dell'esercizio sarà scritta come:

2. 

   
   
   Calcola le radici quadrate dei fattori quadrati perfetti. La proprietà del prodotto radice quadrata afferma che, per qualsiasi valore e dato,. Per questo motivo è ora possibile estrarre le radici quadrate dei fattori e moltiplicarle per arrivare alla risposta.
   • Nell'esempio in questione, le radici quadrate di e verranno estratte come segue:

3. 

   
   
   Riduci il valore risultante ai suoi termini più semplici, se non è possibile fattorizzarlo perfettamente. In pratica, è improbabile che i numeri siano perfetti ed esatti con fattori che sono anche quadrati perfetti (come). In questi casi, potrebbe non essere possibile fornire una risposta completa esatta. Invece, determinando i fattori che possono essere quadrati perfetti, puoi calcolare la risposta in base a una radice quadrata più piccola, più semplice e più facile da lavorare. Basta ridurre il numero alla combinazione di fattori che sono quadrati perfetti con altri che non lo sono. Quindi, semplifica il risultato.
   • Supponiamo che la radice quadrata di sia usata come esempio. Questo numero non è il prodotto di due quadrati perfetti, quindi non è possibile arrivare a un valore intero come nel caso precedente. Tuttavia, è il prodotto tra un quadrato perfetto e un altro numero - e. Questi dati verranno utilizzati per avanzare nella ricerca della risposta nei termini più semplici, come segue:

4. 

   
   
   Se necessario, fare delle stime. Con la radice quadrata nei suoi termini più semplici, è più semplice stimare una risposta numerica stabilendo il valore delle rimanenti radici quadrate e moltiplicando i valori appropriati. Un modo per guidarti attraverso queste stime è trovare i quadrati perfetti accanto al numero nella radice quadrata. Saprai che le cifre decimali di quel numero saranno comprese tra questi due valori e, quindi, sarà più facile stabilire cosa esiste tra di loro.
   • Tornando all'esempio ed essendo e, puoi vedere che è tra e - e probabilmente più vicino al numero più grande. Durante la stima lo troverai. Basta controllare l'operazione con l'ausilio di una calcolatrice e noterai che sei arrivato molto vicino alla vera risposta ().
     • Funziona anche in numero maggiore. È possibile, ad esempio, stimare che sia compreso tra e (probabilmente più vicino al numero più grande). Se e e è compreso tra entrambi i valori, è probabile che anche la sua radice quadrata sia compresa tra e. Tenendo conto che è a un piccolo passo, puoi affermare con sicurezza che la tua radice quadrata è presto sotto il valore. Quando si esegue il calcolo su una calcolatrice, si arriva al risultato: l'ipotesi era corretta.

5. 

   Innanzitutto, riduci il numero al tuo minimi multipli comuni. Non è necessario trovare fattori che siano quadrati perfetti se sei in grado di determinare i fattori primi di un numero (cioè, che sono anche numeri primi). Scrivi il valore in questione in base ai multipli comuni minimi. Quindi, cerca coppie di numeri primi che si abbinano tra loro. Quando trovi due opzioni che soddisfano questi requisiti, rimuovile dalla radice quadrata e posizionale un di loro fuori.
   • Ad esempio, prova a trovare la radice quadrata di con questo metodo. È noto quello e quello. Per questo motivo, è possibile scrivere la radice quadrata in termini di fattori :. Basta prendere i due presenti all'interno della radice e posizionarne uno all'esterno per arrivare ai termini più semplici :. Da qui è facile stimare.
   • Come ultimo esempio, prova a calcolare la radice quadrata di:
     • 
       Qui ci sono diversi valori all'interno della radice quadrata: poiché è un numero primo, prendi semplicemente una delle coppie e posiziona una delle unità all'esterno.
     • Di conseguenza, la radice quadrata nei suoi termini più semplici sarà o. Da qui, puoi stimare i valori di e se lo desideri.

Metodo 2 di 2: calcolo manuale delle radici quadrate

1. 

   Per prima cosa, separa gli spazi dal numero a coppie. Questo metodo utilizza un processo simile alla divisione lunga per calcolare la radice quadrata esatto, una casa alla volta. Sebbene non sia cruciale, potresti scoprire che il processo è più semplice quando è organizzato visivamente e il numero è diviso in parti. La prima cosa da fare è disegnare una linea verticale che separa l'area di lavoro in due regioni, quindi fare una linea orizzontale più piccola vicino in alto a destra in modo da avere una piccola sezione in alto e una grande in basso. Ora separa gli spazi dal numero a coppie che iniziano con la virgola: seguendo questa regola, ad esempio, diventa. Scrivi il valore in alto a sinistra.
   • In un esempio, prova a calcolare la radice quadrata di. Traccia due linee per dividere l'area di lavoro come nel caso precedente e scrivi nella parte superiore dello spazio a sinistra, e non preoccuparti se c'è un solo numero a sinistra invece di una coppia. È necessario scrivere la risposta () nella regione in alto a destra.

2. 

   Scopri qual è il numero intero più grande il cui quadrato è minore o uguale al numero (o coppia di numeri) a sinistra. Inizia con la parte più a sinistra del tuo numero, che si tratti di una coppia o di un valore isolato. Determina qual è il quadrato perfetto più grande minore o uguale a quel numero e prendi la sua radice quadrata: questo valore è rappresentato da. Scrivilo nello spazio in alto a destra e scrivi il tuo quadrato nel quadrante in basso a destra.
   • Nell'esempio, la parte più a sinistra è il numero. Come è noto, è possibile affermarlo, poiché è il valore intero più grande il cui quadrato è minore o uguale a. Scrivi nel quadrante superiore: questo sarà il primo quadrato del risultato. Quindi scrivi (quadrato di) nel quadrante in basso a destra: questo valore sarà importante per il passaggio successivo.

3. 

   Sottrarre il numero di coppia appena calcolato a sinistra. Come nella divisione lunga, il passo successivo è sottrarre il quadrato trovato dalla porzione appena studiata. Scrivi questo valore sotto la prima parte ed esegui la sottrazione appropriata, scrivendo la risposta sotto.
   • Nell'esempio, uno verrà posizionato sotto quello per eseguire la sottrazione. La risposta qui sarà uguale a.

4. 

   Vai alla coppia successiva. Sposta la parte successiva del numero dello studio verso il basso e accanto al valore sottratto che hai appena trovato. Quindi moltiplica il valore in alto a destra per e scrivi la risposta nel quadrante in basso a destra. Ora separa semplicemente uno spazio per il problema della moltiplicazione nel passaggio successivo :.
   • Nell'esempio, la prossima coppia disponibile è. basta guardarlo vicino al quadrante in basso a sinistra. Quindi moltiplica il valore per e ottieni, in modo che. Scrivi nell'angolo in basso a destra, seguito da.

5. 

   Completa gli spazi nel quadrante destro. Ognuno di loro avrà ora lo stesso numero intero. Deve essere il più grande che consenta che il risultato della moltiplicazione a destra sia minore o uguale al numero ora presente a sinistra.
   • Nell'esempio, riempiendo gli spazi vuoti con il risultato :. Questo è un valore maggiore di. In questo modo, è troppo grande, ma probabilmente lo farà. Scrivi negli spazi vuoti e procedi :. Si conferma che soddisfa la necessità perché, quindi scrivere il numero nel quadrante in alto a destra.Questo è il secondo quadrato nella radice quadrata di.

6. 

   Sottrai il valore calcolato dal numero ora a sinistra. Continua a sottrarre nello stesso stile della divisione lunga. Prendi il risultato del problema della moltiplicazione nel quadrante destro e sottrailo dal valore che ora si trova sul lato sinistro, posizionando la tua risposta appena sotto.
   • Nell'esempio, verrà sottratto da, risultando in.

7. 

   Ripeti il ​​passaggio 4. Scorri verso il basso fino alla porzione successiva del numero di cui viene calcolata la radice quadrata. Quando raggiungi la virgola, scrivi un decimale nella risposta nel quadrante in alto a destra. Quindi, moltiplica il valore in alto a destra per e scrivi l'operazione in bianco () come in precedenza.
   • Nell'esempio, poiché la virgola viene raggiunta ora, scrivila subito dopo la risposta corrente in alto a destra. Quindi sposta verso il basso la coppia successiva () nel quadrante sinistro. Moltiplicando per il valore in alto a destra (), ottieni - scrivi nel quadrante in basso a destra.

8. 

   Ripeti i passaggi 5 e 6. Trova il valore decimale più grande in grado di riempire gli spazi a destra che producono un risultato inferiore o uguale al numero attualmente a sinistra. Quindi passa al problema.
   • Nell'esempio ,, che è minore o uguale al numero a sinistra (). Osservando quello, che è troppo alto, arrivi alla conclusione che è la risposta che stai cercando. Scrivilo come la successiva cifra decimale nel quadrante in alto a destra e sottrai il risultato della moltiplicazione del numero a sinistra :.

9. 

   Continua a calcolare le cifre decimali. Rilascia un paio di zeri a sinistra e ripeti il Passaggi 4, 5 e 6. Per una precisione ancora maggiore, continua a ripetere il processo finché non trovi i centesimi, millesimi e così via nella tua risposta. Continua in questo ciclo fino a raggiungere il risultato nella posizione decimale desiderata.

Capire il processo

1. 

   Definisci il numero la cui radice quadrata sarà calcolata come l'area di un quadrato. Poiché quest'area ha una formula, dove rappresenta la lunghezza di uno dei suoi lati, quando cerchi di trovare la radice quadrata del suo valore stai cercando di calcolare la lunghezza del quadrato in questione.

2. 

   Specifica le variabili per ogni cifra decimale nella tua risposta. Impostare la variabile in modo che sia la prima cifra decimale di (radice quadrata calcolata), la seconda, la terza e così via.

3. 

   Assegna variabili alfabetiche a ciascuna porzione del numero iniziale. Associa la variabile alla prima coppia di cifre decimali in (valore iniziale), alla seconda coppia di cifre decimali e così via.

4. 

   Comprendi la connessione di questo metodo con la divisione lunga. Questo modo di calcolare la radice quadrata è fondamentalmente un lungo problema di divisione che divide il numero iniziale per la sua radice quadrata, dando la sua radice quadrata in risposta. Come per i problemi di divisione lunga, in cui l'interesse è diretto a una cifra decimale alla volta, qui dovresti concentrarti su due alla volta (che corrispondono alla successiva radice quadrata decimale).

5. 

   Trova il numero più grande il cui quadrato è minore o uguale a. La prima cifra decimale nella risposta rappresenta il numero intero più grande il cui quadrato non supera (quindi). Nell'esempio, e, quindi.
   • In un esempio, se volessi dividere utilizzando il metodo della divisione lunga, il primo passaggio sarebbe simile: dovresti cercare la prima cifra () e trovare il numero intero più grande che, moltiplicato per, risulterebbe in qualcosa di minore di o uguale a. Fondamentalmente, si tratta di trovare quel modo. In questo caso, sarebbe uguale a.

6. 

   Visualizza il quadrato di cui vuoi calcolare l'area. La risposta, che è la radice quadrata del numero iniziale, sarà rappresentata da, che descrive la lunghezza di un quadrato dell'area (numero iniziale). I valori per e rappresentano le cifre decimali presenti in. Un altro modo per mettere questa definizione è affermare che, nel caso di una risposta con due cifre decimali, nel caso di una risposta con tre cifre decimali, e così via.
   • Nell'esempio ,. Ricorda che rappresenta la risposta con nelle unità e nelle decine. Prendendo e come esempio, risulterà nel numero. Se rappresenta l'area del quadrato, rappresenta l'area del quadrato interno più grande, rappresenta l'area del quadrato interno più piccolo e rappresenta l'area di ciascuno dei rettangoli rimanenti. Quando esegui questo processo lungo e complicato, avrai l'intera area quadrata a portata di mano, aggiungendo semplicemente le aree calcolate dai quadrati e dai rettangoli all'interno.

7. 

   Sottrai da. Rilascia una coppia () di cifre decimali. L'espressione rappresenta la quasi totalità dell'area della piazza, da cui è stata sottratta la piazza interna più grande. Il resto, a sua volta, può essere rappresentato da quello ottenuto in Passaggio 4 (nell'esempio sopra). Qui, (area di entrambi i rettangoli più l'area del quadrato più piccolo).

8. 

   Cerca, anche scritto come. Nell'esempio, conosci già () e (), ed è ora necessario calcolare il valore di. Probabilmente non sarà un valore intero, quindi è necessario veramente calcolare la più grande possibilità complessiva che soddisfa la condizione. Infine, rimarrai con.

9. 

   Risolvi l'operazione. Per procedere, moltiplicare per, modificare la posizione delle decine (l'equivalente di moltiplicare il valore per), metterla nella posizione delle unità e moltiplicare il risultato per. In altre parole, basta eseguire l'operazione. È lo stesso di quando si scrive (essere) nel quadrante in basso a destra presente nel Passaggio 4. Già dentro Passaggio 5, a sua volta, troverai il valore intero più grande che si adatterà allo spazio vuoto soddisfacendo la condizione.

10. 

    Sottrai l'area dall'area totale. Ciò si traduce in un'area fino ad ora ignorata (e che verrà utilizzata per calcolare i quadrati successivi in ​​modo simile).

11. 

    Per calcolare la successiva cifra decimale, ripetere semplicemente il processo. Scorri verso il basso fino alla coppia successiva () di per arrivare a sinistra e cerca il valore più alto che soddisfa la condizione (equivalente a scrivere il doppio del valore con due cifre decimali accompagnate da. Cerca il valore decimale più alto possibile negli spazi vuoti che porta un risultato minore o uguale a, come prima.

Suggerimenti

• Questo metodo funziona con qualsiasi base, non solo con la base (decimale).
• Nell'esempio, si può considerare un "riposo":
  
• Un metodo alternativo che utilizza frazioni continue segue questa formula:
  
  In un esempio, per calcolare la radice quadrata di, il numero intero il cui quadrato corrisponde maggiormente al numero iniziale è, quindi, e. Quando si immettono i valori nella formula e si arrotonda la stima, porta già il risultato (valori minimi) o approssimativamente (). Il termine successivo sarebbe, o circa (). Ogni termine aggiuntivo aggiunge quasi tre cifre decimali di precisione rispetto al tentativo precedente.

Avvertenze

• Ricorda di separare le cifre decimali a coppie dalla virgola. Una separazione di come, ad esempio, porterà risultati inutili.