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Per chi ha difficoltà con la matematica, vedere il simbolo di una radice quadrata può provocare brividi. Tuttavia, i problemi che coinvolgono questo operatore non sono così difficili come sembrano. A volte, semplici problemi di radice quadrata possono essere facili come una semplice moltiplicazione o divisione. D'altra parte, problemi più complicati possono richiedere più lavoro. Tuttavia, con il giusto approccio, sembreranno tutti facili. Inizia subito a praticare i problemi della radice quadrata e impara questa nuova abilità matematica radicale!

passi

Parte 1 di 3: comprendere il concetto di radici quadrate e quadrate

1. 

   Prima di capire le radici quadrate, devi prima capire cos'è il quadrato di un numero. È facile da capire. Per quadrare un numero, basta moltiplicarlo per se stesso. Ad esempio, 3 al quadrato è uguale a 3 × 3 = 9 e 9 al quadrato è uguale a 9 × 9 = 81. I quadrati sono indicati da un piccolo "2" sul lato superiore destro del numero da aumentare, come questo: 3, 9, 100 e così via.
   • Per mettere in pratica il concetto, prova a quadrare qualche numero in più. Ricorda, quadrare un numero significa semplicemente moltiplicarlo per se stesso. Puoi farlo anche con numeri negativi, ma ricorda che in questo caso la risposta sarà sempre positiva. Ad esempio, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Per trovare la radice quadrata, trova l '"inverso" del potenziamento. Il simbolo radice (√, chiamato anche "radicale") significa sostanzialmente l '"opposto" del simbolo. Quando vedi un radicale, chiediti: "Quale numero posso moltiplicare per se stesso in modo che il risultato sia il numero all'interno del radicale?" Ad esempio, quando vedi √ (9), prova a trovare il numero che, al quadrato, è uguale a 9. In questo caso, la risposta sarà treperché 3 = 9.
   • Un altro esempio: troviamo la radice quadrata di 25 (√ (25)). Ciò significa che dobbiamo trovare il numero che, al quadrato, è uguale a 25. Poiché 5 = 5 × 5 = 25, possiamo dire che √ (25) = 5.
   • Puoi anche pensare a questa operazione come un modo per "annullare" un prospetto quadrato. Ad esempio, se dobbiamo trovare √ (64), la radice quadrata di 64, dovremmo pensare a 64 come 8. Poiché la radice quadrata sostanzialmente "cancella" un'elevazione al quadrato, possiamo dire che √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Comprendi la differenza tra numeri quadrati perfetti e numeri quadrati imperfetti. Finora, le risposte ai nostri problemi di radice quadrata sono state numeri interi. Non succederà sempre. In effetti, il risultato di un'operazione con radiazioni può talvolta portare a decimali lunghi e complicati. Se la radice di un numero è un numero intero, cioè se non è una frazione o un decimale, verrà chiamato quadrato perfetto. Tutti gli esempi mostrati sopra (9, 25 e 64) sono quadrati perfetti perché le loro radici sono numeri interi (3, 5 e 8, rispettivamente).
   • D'altra parte, vengono chiamati numeri le cui radici non sono intere quadrati imperfetti. Quando calcoliamo la radice di uno di questi numeri, otterremo un risultato che di solito sarà una frazione o un decimale. A volte, i decimali coinvolti possono essere piuttosto complicati, come nell'esempio: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Memorizza almeno i primi 12 quadrati perfetti. Come abbiamo mostrato, calcolare la radice quadrata di un numero può essere molto semplice! Quindi è importante dedicare del tempo a memorizzare le radici quadrate della prima dozzina di quadrati perfetti. Tendono ad apparire molto nei test, quindi memorizzarli può farti risparmiare molto tempo. I primi 12 quadrati perfetti sono:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Quando possibile, semplifica le radici rimuovendo i quadrati perfetti. Trovare la radice quadrata dei quadrati imperfetti può essere piuttosto complicato, soprattutto se non è disponibile una calcolatrice (nelle sezioni seguenti imparerai trucchi per semplificare il processo). Tuttavia, a volte è possibile semplificare i numeri all'interno della radice per facilitare i calcoli. Basta dividere il numero all'interno della radice in fattori, quindi calcolare la radice dei fattori che sono quadrati perfetti e scrivere la risposta fuori dal radicale. Questo è più facile di quanto sembri. Vedi sotto per capire meglio!
   • Diciamo che devi trovare la radice di 900. Inizialmente, sembra essere un compito abbastanza difficile! Tutto è molto più semplice se dividiamo il 900 in fattori. I fattori di un numero "x" sono un insieme di numeri che, se moltiplicati, risultano in "x". Ad esempio, possiamo ottenere 6 moltiplicando 1 × 6 e 2 × 3, quindi i fattori di 6 sono 1, 2, 3 e 6.
   • Invece di lavorare con 900, che può essere un po 'strano, scriviamolo invece come 9 × 100. Ora, poiché 9, che è un quadrato perfetto, è separato da 100, possiamo calcolare la sua radice quadrata. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Cioè, √ (900) = 3√(100).
   • Possiamo ancora semplificare altre due volte, dividendo 100 nei fattori 25 e 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Quindi, possiamo dire che √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Usa numeri immaginari per calcolare la radice dei numeri negativi. Chiediti, quale numero moltiplicato per se stesso risulta -16? Non è 4 o -4, perché il quadrato di questi due numeri è 16. Dobbiamo arrenderci? In effetti, non c'è modo di scrivere la radice quadrata di -16 o qualsiasi altro numero negativo utilizzando solo numeri reali. In questi casi, dobbiamo utilizzare numeri immaginari (di solito sotto forma di lettere o simboli) per sostituire la radice quadrata di un numero negativo. La variabile "i", ad esempio, viene utilizzata per indicare la radice quadrata di -1. Come regola generale, la radice di un numero negativo sarà sempre (o almeno includerà) un numero immaginario.
   • Ricorda, anche se i numeri immaginari non possono essere rappresentati da numeri reali, possono comunque essere trattati come tali in qualche modo. Ad esempio, la radice di un numero negativo "-x", se quadrata, risulta anche in "-x", proprio come qualsiasi altra radice. Cioè, i = -1

Parte 2 di 3: utilizzo di metodi simili a divisione lunga

1. 

   Tratta il problema della radice quadrata come se fosse una lunga divisione. Nonostante sia un po 'laborioso, puoi trovare la radice quadrata di numeri quadrati imperfetti complicati senza usare una calcolatrice. Il metodo (o algoritmo) è simile (ma non uguale) a quello della divisione lunga. La divisione lunga è il metodo tradizionale utilizzato per calcolare le divisioni a mano.
   • Inizia con il posizionamento iniziale del problema, che sarà simile a quello della divisione lunga. Ad esempio, diciamo che devi trovare la radice di 6,45, che sicuramente non è un quadrato perfetto. Per prima cosa, scriviamo un simbolo di radice quadrata (√) e poi inseriamo il nostro numero al suo interno. Quindi, dobbiamo tracciare una linea dal simbolo √ fino a coprire l'intero numero, lasciandolo all'interno di un riquadro simile a quello in cui si trova il divisore di divisione lungo. La differenza è che qui la risposta sarà sopra quella casella, non sotto, come nella divisione tradizionale. Quando avremo finito, avremo un segno "√" allungato, che copre l'intero numero di 6,45.
   • Scriviamo i numeri su questa casella, quindi lascia spazio.

2. 

   Raggruppa le cifre in coppie. Per iniziare a risolvere il problema, raggruppa le cifre del numero all'interno della radice a coppie, iniziando con il punto decimale. Puoi creare piccoli segni (come punti, barre, virgole, ecc.) Tra le coppie per separarli.
   • Nel nostro esempio, dovremmo dividere 6,45 in tre coppie, in questo modo: 6-,45-00. Vedi che c'è una cifra in meno sul lato sinistro, non c'è problema.

3. 

   Trova il numero più grande il cui quadrato è minore o uguale al valore del primo "gruppo". Inizia con la prima coppia di numeri sul lato sinistro. Scegli il numero più grande il cui quadrato è minore o uguale al "gruppo". Ad esempio, se il gruppo era 37, scegli 6, perché 6 = 36 <37 ma 7 = 49> 37. Scrivi questo numero sopra il primo gruppo. Questa è la prima cifra della risposta.
   • Nel nostro esempio, il primo gruppo in 6-, 45-00 è 6. Il primo numero più grande il cui quadrato è minore o uguale a 6 è 2, perché 2 = 4. Scrivi "2" sopra il 6 che si trova all'interno del radicale.

4. 

   Guarda la prima cifra della risposta (il numero che abbiamo appena trovato) e moltiplicala per due. Ora scrivi il risultato sotto il primo gruppo ed esegui una sottrazione per trovare la differenza. Quindi, scorri verso il basso la prossima coppia di numeri, aggiungendoli alla differenza che abbiamo appena trovato. Infine, scrivi l'ultima cifra, raddoppia la prima cifra della risposta sul lato sinistro e lascia uno spazio accanto ad essa.
   • Nel nostro esempio, il primo passo sarebbe trovare il doppio di 2, che è la prima cifra della risposta. 2 × 2 = 4. Quindi, dobbiamo sottrarre 4 da 6 (il nostro primo "gruppo"), ottenendo 2 come risposta. Ora, dobbiamo andare al gruppo successivo (45) per ottenere 245. Infine, scriviamo di nuovo 4 a sinistra, lasciando un piccolo spazio vuoto sul lato destro, in questo modo: 4_.

5. 

   Riempire gli spazi vuoti. Ora, dobbiamo inserire una cifra al posto dello spazio vuoto accanto al numero che scriviamo a sinistra. Scegli la cifra che, moltiplicata per il numero a sinistra con lo spazio vuoto sostituito da se stesso, ha un valore massimo, ma inferiore al numero a destra. Questo può sembrare un po 'complicato, quindi vediamo alcuni esempi per capire. Se il numero che è andato giù, cioè quello a destra, è 1700 e il numero a destra è 40_, riempiamo lo spazio vuoto con il numero 4, perché 404 × 4 = 1616 <1700 e 405 × 5 = 2025 Il numero trovato in questo passaggio sarà la seconda cifra della risposta, quindi puoi aggiungerlo sopra il simbolo della radice.
   • Nel nostro esempio, dobbiamo trovare il numero per riempire lo spazio vuoto in 4_ × _ che renda la risposta più grande possibile, ma minore o uguale a 245. Nel nostro caso, la risposta è 5perché 45 × 5 = 225 e 46 × 6 = 276.

6. 

   Continua a utilizzare i numeri che riempiono gli spazi per comporre la risposta. Continua questo metodo di divisione lungo modificato fino a quando non inizi a ottenere zeri sottraendo il numero che discende dal radicale o fino a raggiungere il livello di precisione desiderato. Al termine, i numeri utilizzati per riempire gli spazi vuoti in ogni passaggio (e, ovviamente, il primo numero che usiamo) costituiranno le cifre della risposta.
   • Continuando il nostro esempio, dovremmo sottrarre 225 da 245 per ottenere 20. Quindi, scendiamo la coppia di cifre 00 per ottenere 2000. Raddoppiando i numeri sopra il radicale, abbiamo 25 × 2 = 50. Impostando il numero vuoto a 50_ × _ = / <2.000, otteniamo 3. A questo punto, abbiamo "253" sul radicale. Ripetendo di nuovo il processo, otteniamo un 9 come cifra successiva.

7. 

   Posiziona la virgola nella posizione corretta nella risposta. Per finire la risposta, dobbiamo ancora mettere il punto decimale al posto giusto. Questa parte è semplice: metti la virgola nella risposta nella stessa posizione della virgola nel numero all'interno del radicale. Ad esempio, se il numero all'interno del radicale è 49,8, è sufficiente inserire la virgola nella risposta nella posizione corrispondente a quella sotto, cioè tra i due numeri sopra 9 e 8.
   • Nel nostro esempio, il numero all'interno del radicale è 6,45. Per ottenere la risposta, basta inserire la virgola tra i numeri che sono sopra 6 e 4, che in questo caso sono rispettivamente 2 e 5, per ottenere la risposta: 2,539.

Parte 3 di 3: stima rapida dei quadrati imperfetti

1. 

   Trova la risposta tramite un preventivo. Una volta che conosci la radice di alcuni quadrati perfetti, trovare la radice dei quadrati imperfetti sarà molto più facile. In un passaggio precedente, si consiglia di memorizzare almeno i primi dodici quadrati perfetti e le loro radici. La buona notizia è che possiamo usare la stima per ottenere un'approssimazione della radice di un quadrato imperfetto che si trova tra due quadrati perfetti che conosciamo. Per questo, dobbiamo trovare il primo quadrato perfetto più grande del numero desiderato e l'ultimo più piccolo, in modo che il numero in questione sia compreso tra i due. Quindi, dobbiamo provare a scoprire a quale di questi due quadrati perfetti la radice del numero desiderato si avvicina di più.
   • Ad esempio, supponiamo di dover trovare la radice quadrata di 40. Poiché memorizziamo i nostri quadrati perfetti, possiamo dire che 40 è compreso tra 6 e 7, ovvero tra 36 e 49. Poiché 40 è maggiore di 6, la tua radice quadrata sarà maggiore di 6. Allo stesso modo, poiché è minore di 7, la sua radice sarà minore di 7. 40 è un po 'più vicino a 36 di 49, quindi la nostra risposta sarà probabilmente più vicina a 6. Nei passaggi successivi , aumenteremo la precisione della nostra stima.

2. 

   Aumenta la precisione a una cifra decimale. Una volta trovati i due quadrati perfetti consecutivi che formano un intervallo che contiene il tuo numero, prova ad aumentare la precisione della stima fino a un punto che ritieni soddisfacente. Maggiore è il numero di tentativi di miglioramento della stima, maggiore sarà l'accuratezza. Per iniziare, stimare il valore della prima cifra decimale. Questa stima non deve essere corretta, ma l'uso della logica per scegliere un valore che è probabilmente il più vicino alla risposta faciliterà il processo.
   • Nel nostro esempio, una stima accettabile per la radice quadrata di 40 potrebbe essere 6,4, perché sappiamo già che la risposta è probabilmente un po 'più vicina a 6 che a 7.

3. 

   Moltiplica la stima per se stessa. A meno che tu non sia molto fortunato, il risultato non sarà il numero di partenza (40, nel nostro esempio). Sarà necessario modificare la stima per avvicinarsi alla risposta corretta.Se il risultato è superiore al numero iniziale (ovvero superiore a 40), provare una stima inferiore. Allo stesso modo, se il risultato è inferiore al numero desiderato, aumentare la stima.
   • Moltiplica 6,4 per se stesso per ottenere 6,4 × 6,4 = 40,96, che è leggermente superiore al nostro numero iniziale.
   • Ora, poiché la nostra stima era appena al di sopra del valore corretto, riduciamola di un decimo per ottenere 6,3 × 6,3 = 39,69. Ora il risultato era leggermente inferiore al nostro numero originale. Ciò significa che la radice di 40 è un numero tra 6.3 e 6.4. Inoltre, poiché 39,69 è più vicino a 40 rispetto a 40,96, sappiamo che la radice sarà più vicina a 6,3, non a 6,4.

4. 

   Continuare a migliorare la stima se necessario. A questo punto, se sei soddisfatto della risposta, utilizza una delle prime approssimazioni come stima. Tuttavia, se hai bisogno di una risposta più precisa, prova a stimare il seconda cifra decimale, scegliendo un valore tra i due precedenti (ovvero tra 6,3 e 6,4). Utilizzando questo metodo, possiamo stimare tre cifre decimali, quattro, cinque e così via, a seconda della precisione richiesta per la risposta.
   • Nel nostro esempio, possiamo scegliere 6.33 per rendere la nostra stima a due cifre decimali. Moltiplica 6,33 per se stesso per ottenere 6,33 × 6,33 = 40,0689. Poiché questo risultato era leggermente superiore al nostro numero iniziale, possiamo scegliere un valore leggermente inferiore, ad esempio 6.32. In questo caso, 6,32 × 6,32 = 39,9424, un risultato leggermente inferiore al numero di partenza. Pertanto, possiamo concludere che la radice esatta di 40 è tra 6.32 e 6.33. Se necessario, potremmo continuare questo metodo per ottenere approssimazioni sempre più accurate alla radice del numero desiderato.

Suggerimenti

• Se hai bisogno di una soluzione rapida, usa una calcolatrice. La maggior parte delle calcolatrici moderne può calcolare istantaneamente le radici quadrate. In generale, basta digitare un numero qualsiasi e premere il pulsante con il simbolo della radice quadrata. Per trovare la radice di 841, ad esempio, basta premere 8, 4, 1 e quindi (√) per ottenere la risposta: 39.